나비효과라는 말 들어보셨나요? 혼돈이론이랍니다

혼돈 이론 또는 카오스 이론은 동역학계 이론에서 특정 동역학계의 시간 변화가 초기 조건에 지수적으로 민감하며, 시간 변화에 따른 궤도가 매우 복잡한 형태를 보이는 현상이다. 혼돈 이론 카오스 시어리 또는 카오스 이론은 무질서하게 보이는 혼돈 상태에도 논리적 법칙이 존재한다는 이론으로, 혼돈계를 연구하는 수학 분야이다.

역사
19세기
혼돈 이론의 시작은 19세기까지 거슬러 올라간다. 앙리 푸앵카레는 1880년대에 삼체 문제를 연구하는 과정에서, 비주기성이면서도 영원히 증가하지도, 또한 고정점에 도달하지도 않는 궤도가 있을 수 있다는 것을 발견하였다. 또한, 푸앵카레는 2차원에서는 혼돈이 일어날 수 없다는 푸앵카레-벤딕손 정리를 1892년에 발표하였으나, 이에 대한 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 자크 아다마르는 1898년에 종수 2의 리만 곡면 위의 측지선을 연구하면서, 이 동역학계가 (현대적인 용어로) 양의 랴푸노프 지수를 갖는다는 것을 발견하였다. 이후 이바르 오토 벤딕손이 1901년에 푸앵카레-벤딕손 정리를 엄밀하게 증명하였다.

20세기 초
20세기 초에 비선형 동역학계의 연구가 발달하기 시작하였다. 이들은 초창기에는 대개 물리학 · 공학에서 등장하는 비선형 미분 방정식들을 다루었지만, 이들이 공통적으로 보이는 성질들이 점차 부각되기 시작하였다.

조지 데이비드 버코프는 혼돈과 밀접하게 연관된 에르고딕성을 연구하였고, 버코프 에르고딕 정리를 증명하였다. 안드레이 콜모고로프는 1941년에 유체 역학의 난류를 연구하였고, 또 1954년에 미세한 비선형성에 대한 콜모고로프-아르놀트-모저 정리를 도입하였다. 메리 카트라이트와 존 이든저 리틀우드는 1945년에 무선 공학에서 자연스럽게 등장하는 판데르폴 진동자를 연구하였다. 스티븐 스메일은 1960년에 비선형 동역학계를 모스 이론을 사용하여 분석하였다.

20세기 후반
에드워드 노턴 로렌즈는 1961년에 기상학 컴퓨터 시뮬레이션을 연구하던 도중 로렌즈 방정식의 야릇한 끌개를 발견하였다. 1963년에 브누아 망델브로는 프랙털 기하학을 도입하였으며, 이는 야릇한 끌개의 프랙털 성질을 규명하는 이론적 기반을 제공하였다. 1975년에 제임스 요크는 "혼돈"이라는 용어를 전문 용어로 최초로 사용하였다. 원래 그리스 신화에서 우주 태초의 상태를 뜻한다. 1976년에 오토 에버하르트 뢰슬러는 연속 시간 혼돈계인 뢰슬러 끌개를 발표하였다. 1978년에 미첼 파이겐바움은 파이겐바움 상수를 발견하였다.

1987년에 제임스 글리크는 대중 교양 서적 《카오스: 새로운 과학의 출현》을 출판하여, 혼돈 이론을 대중화하였다.


정의
혼돈계는 다음 세 성질들을 만족시키는 동역학계이다.

초기 조건에 민감해야 한다. 
위상 혼합성을 보인다.
조밀한 주기적 궤도들을 가진다.
각 조건은 구체적으로 다음과 같다.

초기 조건에 민감하다는 것은 랴푸노프 지수가 양수라는 것이다. 랴푸노프 지수가 양수이므로, 계의 시간 변화는 초기 조건에 지수적으로 의존한다. 흔히 이는 나비 효과로 불리며 혼돈계의 주요 성질로 일컬어지지만, 초기 조건에 대한 민감성은 혼돈계를 정의하는 세 조건 가운데 하나일 뿐이다. 


동역학계의 궤도는 주어진 초기 조건의 시간 변화들로 구성된 부분 집합이다. 주기적 궤도는 궤도 가운데, 일정한 시간이 지나면 원점으로 돌아오는 것이다. 조밀한 주기적 궤도들을 갖는다는 것은 모든 주기적 궤도들의 합집합이 조밀 집합을 이룬다는 것이다. 즉, 모든 초기 조건에 대하여, 이에 대하여 임의적으로 가까운 주기적 궤도가 존재한다.



끌개

혼돈 운동 또는 어떤 형태의 운동이라도 시각적으로 표시하는 방법 중 한가지는 운동의 위상도를 그리는 것이다. 이러한 그림에서 시간은 내재되어 있으며 각 축은 상태의 한 차원을 나타낸다. 예를 들어 이런 위상도에서 정지해 있는 계는 점으로 그려질 것이며 주기 운동을 하는 계는 단일 폐곡선으로 그려질 것이다.

한 계의 위상도는 계의 초기조건에  따라 바뀌지만 대개는 일정한 운동궤적 주위의 초기조건에 대해서는 마치 그 운동궤적에 이끌리듯이 같은 궤적에 도달하는 경우가 많다. 이렇게 이끄는 운동은 적절하게도 그 계의 "끌개"라고 하며 강제된 흩어지기계에서는 아주 흔하게 발견된다.

위에서 언급된 운동 형태 중 대부분은 점이나 원형 곡선등의 아주 단순한 형태의 끌개를 보이지만 혼돈 운동은 "야릇한 끌개"로 알려진 매우 세밀하면서도 복잡한 형태의 끌개를 보인다. 예를 들어 에드워드 노턴 로렌즈의 기상계를 본뜬 단순한 3차원 본뜨기는 유명한 로렌즈 끌개를 보인다. 로렌즈 끌개는 아마도 가장 잘 알려진 혼돈계의 그림일 텐데 이는 이것이 최초의 끌개 그림 중 하나라는 것보다는 가장 복잡한 끌개 그림 중 하나이며 또한 나비의 날개 같은 매우 흥미로운 형태를 보이기 때문일 것이다. 또 다른 끌개로 로지스틱 본뜨기처럼 주기배증의 혼돈경로를 따르는 뢰슬러 본뜨기가 있다.

야릇한 끌개는 프랙털 구조를 가지고 있다.


혼돈계의 대표적인 예는 다음이 있다.

이산 시간 혼돈계
로지스틱 사상은 적절한 매개 변수 값에서 혼돈계를 이룬다.
아르놀트 고양이 사상
에농 사상
말굽 사상
연속 시간 혼돈계
로렌즈 방정식
추아 회로
뢰슬러 끌개
판데르폴 진동자
다양한 모양의 평면 구역 위에서의 당구 동역학계 혼돈계가 되는 당구장의 모양으로는 로런츠와 부니모비치 스타디움 등이 있다.
삼체 문제와 일반적인 다체 문제는 일부 초기 조건에서 혼돈을 보인다.


응용
혼돈 현상은 나비 효과로 잘 알려져 있으며, 혼돈 이론은 지구의 대기, 판 구조론, 경제/인구 현상, 다중성계의 궤도 변화 등에 응용된다. 이런 민감성의 한 예가 소위 "나비 효과"로 나비의 날갯짓에 의한 대기의 미소한 변화가 시간이 흐름에 따라 증폭되어 토네이도같이 극적인 상태를 야기할 수 있음을 의미한다. 나비의 날갯짓이 나타내는 계의 초기조건에 대한 "작은" 차이가 일련의 사건을 거쳐 토네이도와 같은 거시적인 현상을 일으킨다는 것이다. 만약 나비가 날갯짓을 하지 않았다면 계의 위상 공간 위의 궤적은 전혀 달랐을 것이다.

또 다른 혼돈 운동의 잘 알려진 예로 염료 색의 섞임 현상과 공기의 난류 현상 등이 있다.카오스시어라삼체문제를고정적으로벤 덴 손측 지선을이마를오토매틱벤 덴 손이벤 덴 손공통으로에르고 덴 성을에르고 진아르노를모자존 이 든 저 리틀우드는판데르 폴오토매틱뢰스라는뢰슬라슬리크는교양서적세 성질을임의로중 한 가지는운동의 위 상도를내재하여위상에서도운동하는위상도 는초기조건에 따라바뀌지만흩어지기 계에서는곡선 등의알려진 배우가상계를주기배증의 혼돈 경로를뢰슬라변숫값에서아르노를에나추와뢰슬라판데르 폴부니 모 비치삼체문제와다체문제는나비가 날갯짓하지